Sieh noch mal nach ob die LiMa auch genügend Spannung liefert. Vielleicht ist die kaputte Batterie auch nur eine Folge davon.
Eventuell ist der Stellmotor der Climatronic ja wirklich hinüber oder er wird mechanisch blockiert. Nimm mal deinen Pollenfilter heraus und sieh in den Ansaugkanal da kannst du die Staudruckklappe sehen.
Aber trotz defektem Stellmotor solltest du Kühlleistung bemerken. Lass mal einen Klimaanlagencheck machen um damit festzustellen ob das System dicht ist und noch genüg Kältemittel vorhanden ist.
Viel Erfolg
Alex